Teorema del campionamento di Nyquist-Shannon

Scritto da Alessandro Tombolesi il 18 Giugno 2016

Matrice e pixel sono due caratteristiche dell’immagine digitale la cui importanza è stata discussa in numerosi topic. Ma qual è il meccanismo secondo cui viene determinato il livello di grigio opportuno per ogni pixel affinché l’immagine digitale risulti fedele all’originale e rispondere quindi al criterio della migliore funzione di trasferimento della modulazione (MTF)?

Se i pazienti fossero composti da un puzzle di quadratini omogenei non ci sarebbero problemi, ma gli oggetti reali posseggono forme e caratteristiche proprie che al passaggio dei RX determinano coefficienti di attenuazione lineare  e conseguentemente impulsi elettrici che variano nello spazio e nella superficie attraversata.

Per comprendere questi meccanismi basilari ipotizziamo di dover rappresentare un oggetto la cui dimensione sia pari a quella del pixel (che in una TC potrebbe essere all’incirca un oggetto di un mm in una slice con DFOV 48-50 e matrice 512x512)

Se l’oggetto avesse dimensioni uguali a quelle del pixel, potrebbe essere sostanzialmente rappresentato nella nostra griglia in tre modi differenti : A) interamente dentro un pixel, B) a cavallo tra due pixel adiacenti, C) contemporaneamente su 4 pixel.

Da un punto di vista di definizione spaziale la soluzione migliore è la A, e la peggiore la C perché:

in A un solo pixel viene “annerito” (termine ad esclusivo uso dimostrativo) da un grigio che corrisponda al coefficiente di attenuazione dell’oggetto, in B i pixel sono 2 ed in C sono 4, ma i livelli di grigio di B e C non saranno più quelli corrispondenti all’originale perché la m della porzione d’oggetto ha fatto la media con la m del tessuto adiacente (e presente nel pixel), andando a “sfumare” e rendere meno nitido il risultato iconografico.

Raddoppiando le dimensioni della matrice (come se in TC volessimo vedere lo stesso oggetto con un DFOV di 24-25 cm) la situazione sarebbe all’incirca questa:

con il nostro oggetto che nella prima ipotesi sarebbe rappresentato da quattro pixel (D) e nell’ultima nove (F), con “annerimenti” però graduali che cominciano a dare un’idea del tipo di oggetto che stiamo cercando di rappresentare.

Diminuendo la dimensione del DFOV (pixel) si ha quindi un miglioramento della risoluzione spaziale perché sempre più pixel andranno a rappresentare l’oggetto e con una definizione in termini di scala di grigi sempre crescente.

Ma ciò che di solito andiamo a scansionare non sono solo piccoli oggetti sferici, ma strutture complesse di densità caratteristica e forme sempre diverse; il concetto però non cambia:

perché macroscopicamente si applicano le stesse regole e l’albero bronchiale della figura soprastante sarà sempre meglio visibile al raddoppiare della matrice (C doppia di B e quattro volte quella di A).

Volendo rappresentare il concetto con immagini più familiari:

si può apprezzare come ad ogni raddoppio della matrice corrisponda una sempre migliore definizione (e contemporaneamente incremento del rumore).

Il teorema di campionamento di Nyquist-Shannon dice sostenzialmente che la frequenza di campionamento utile alla corretta rappresentazione dell’oggetto è quella pari alla metà dell’oggetto stesso. In caso di frequenze inferiori si verificano effetti di “aliasing” per cui oggetti ad elevata frequenza spaziale vengono rappresentati da frequenze più basse, alterandone le caratteristiche.

Per comprendere meglio questo teorema possiamo sostituire i nostri pixel con un grafico che alle ordinate abbia l’intensità del segnale ed alle ascisse la distanza, od i pixel, od i detettori (grafico A sottostante).

La curva A rappresenta la caratteristica del segnale reale dell’oggetto scansionato, od i profili di attenuazione punto per punto dell’attraversamento dei RX con la materia.

Ipotizziamo ora, dato che dobbiamo misurare questo segnale, di eseguire dei campionamenti, delle vere e proprie misurazioni in punti (frequenze spaziali) prestabiliti: nel grafico B ad 1 punto ogni centimetro, in C a 2 punti per cm, in D a 4 punti ogni centimetro.
La linea retta che in B, C e D congiunge i campionamenti descrive la rappresentazione del nostro segnale che sarà sempre più simile all’originale ogni volta che si raddoppia la frequenza spaziale (un po’ come succedeva precedentemente per le matrici).
La frequenza spaziale ideale è quella infinita ovviamente, ma in un sistema “finito” come quello digitale in cui è necessario “campionare” per descrivere qualsiasi cosa, esiste una frequenza minima di campionamento al di sotto della quale non si deve andare pena la mancata fedeltà di riproduzione dell’oggetto o del tessuto (fenomeno di aliasing).
È la frequenza di Nyquist.
Introduciamo per un attimo il teorema di Fourier, che afferma che qualunque segnale, periodico o meno (come quello del grafico precedente) può essere scomposto nella somma di un eventuale termine costante ed un certo numero di funzioni sinusoidali.

Nell’esempio sottostante (a sinistra) potete apprezzare la scomposizione di un segnale nelle sue componenti, costante e sinusoidali:

il teorema di Shannon-Nyquist dice che ogni segnale può essere ricostruito correttamente se il campionamento su di esso viene effettuato ad una frequenza pari ad almeno il doppio della frequenza massima (della sinusoide con la frequenza più alta).

Nell’immagine soprastante di destra, identificando l’ultima in basso come la sinusoide a più alta frequenza, si apprezza come campionando al doppio della sua frequenza si ottengano anche i punti di campionamento corretti della forma d’onda originale in alto al fine di non incorrere in sottocampionamenti od errori di riproduzione.